Кажется, тема простая, но на практике ребята натыкаются на одни и те же грабли. Давайте разбираться на двух похожих примерах.
📌 Два неравенства, которые путают
Перед вами:
- x² < 361
- x² ≥ 289
На первый взгляд — одинаково. Но ответы разные. Почему?
🔥 Шаг 1. База: знаки и скобки
🔹Строгий знак (<, >): точка не закрашена, в ответе круглая скобка.
🔹Нестрогий (≤, ≥): точка закрашена, в ответе квадратная скобка.
Это первое, на чём часто спотыкаются❗️
🔢 Шаг 2. Что скрывается за числами 361 и 289?
361 = 19·19 = 19².
Но и (–19)·(–19) тоже даёт 361.
Значит, квадрат числа может получиться как от положительного 19, так и от отрицательного –19.
То же самое с 289: 289 = 17² = (–17)².
Поэтому, когда мы видим x² < 361, мы должны думать: какие числа в квадрате дают меньше, чем 19²?
Это все числа, чей модуль (расстояние от нуля) меньше 19: от –19 до 19, но не включая сами –19 и 19, потому что строго меньше.
А для x² ≥ 289 — те числа, чей модуль больше или равен 17: от –∞ до –17 и от 17 до +∞.
🧠 Шаг 3. Разбираем первое: x² < 361
x² < 361 означает, что |x| < 19 (модуль x меньше 19).
Это все числа, которые лежат между –19 и 19.
Проверим на примерах:
- 0² = 0 < 361 — подходит.
- 10² = 100 < 361 — подходит.
- 18² = 324 < 361 — подходит.
- (–5)² = 25 < 361 — подходит.
- (–18)² = 324 < 361 — подходит.
А вот числа –19 и 19:
- 19² = 361 — уже не меньше, а равно. Не подходит.
- (–19)² = 361 — тоже не подходит.
Значит, ответ: –19 < x < 19.
В бланке пишут (–19; 19).
Смотрим варианты ответов — это вариант 3.
🧠 Шаг 4. Разбираем второе: x² ≥ 289
x² ≥ 289 означает |x| ≥ 17 (модуль x больше или равен 17).
Это два луча: x ≤ –17 или x ≥ 17.
Почему два луча?
Потому что если взять x = 17: 17² = 289 — подходит (равенство разрешено).
Если взять x = 18: 324 ≥ 289 — подходит. Если x = 100: 10000 ≥ 289 — подходит. Вправо уходим до +∞.
Теперь отрицательная сторона:
x = –17: (–17)² = 289 — подходит.
x = –18: 324 ≥ 289 — подходит.
x = –100: 10000 ≥ 289 — подходит.
Влево уходим до –∞.
Значит, ответ: (–∞; –17] ∪ [17; +∞).
Смотрим варианты — это вариант 2.
💡 В чём главная ловушка?
Многие забывают, что квадрат числа всегда неотрицателен и отрицательные числа при возведении в квадрат тоже дают положительный результат. Поэтому в первом случае мы берём все числа между –19 и 19, а во втором — числа, которые по модулю больше 17, то есть два отдельных луча.
❓ А у вас бывают ошибки в таких номерах?
Ставьте реакцию:
🔥 — всё понятно
❤️ — иногда путаюсь, спасибо за разбор
💬 — есть вопросы, пишу в комментарии
Разбираем дальше! 👇
Дискуссия